vestiftИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-технических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physical-technical series1561-83582524-244XThe Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestift-354Research ArticleИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫINFORMATION TECHNOLOGIES AND SYSTEMSРЕШЕНИЕ 3D-ЗАДАЧИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ ПО ИЗВЕСТНЫМ ТОМОГРАММАМ НА СИСТЕМЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙTHE SOLUTION TO THE 3D PROBLEM OF COMPUTER TOMOGRAPHY WITH KNOWN TOMOGRAMS ON THE SYSTEM OF ARBITRARY PLANESПершинаЮ. И.PershynaIu. I.

доктор физико-матема- тических наук, профессор

ул. Университетская, 16, 61003

D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

16, Universitetskaya Str., 61003

yulia_pershyna@ukr.netШилинА. В.ShylinO. V.

аспирант

ул. Университетская, 16, 61003

Postgraduate Student

16, Universitetskaya Str., 61003

sh.aleks783@gmail.comУкраинская инженерно-педагогическая академия, ХарьковUkrainian Engineering and Pedagogical Academy, Kharkov20172201201804112121Copyright © Першина Ю.И., Шилин А.В., 20182018Першина Ю.И., Шилин А.В.Pershyna I.I., Shylin O.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestift.belnauka.by/jour/article/view/354

Построена и исследована математическая модель двухмерной компьютерной томографии с использованием интерфлетации функций трех переменных по известным томограммам исследуемого тела. Дается понятие томограммы в математическом смысле как след от функции трех переменных на заданной плоскости, построен алгоритм перевода изображения томограмм в функциональную зависимость, аргументами которой являются номер рисунка и координаты точек. Это дает возможность работать с томограммами как с функциями, то есть позволяет по номеру рисунка получать его изображения и выделять компонент цвета в указанной точке рисунка.

Строится и исследуется оператор интерфлетации функции трех переменных по известным следам функции на системе произвольных плоскостей. Приводится теорема об общем виде погрешности приближения функции трех переменных, построенных оператором интерфлетации в интегральном виде. Также приведена оценка неустранимой погрешности экспериментальных данных. Продемонстрирован пример восстановления функции трех переменных с помощью оператора интерфлетации по ее известным следам на системе произвольно расположенных плоскостей. Проведен численный эксперимент для заранее заданного тела, для этого был разработан комплекс программ в системе компьютерной математики MathCad. Численный эксперимент дает результаты визуализации точного решения и решения, полученного экспериментально, для случая, когда известна точная функция.

The article is based on restoration method for the internal structure of a three-dimensional body using polynomial interflatation based on known tomograms (traces) lying on a system of arbitrary planes, which is a generalization of the method of body restoration with its known tomograms on a system of three groups of parallel planes. A definition of tomograms in the mathematical sense has been provided and the algorithm of transition of tomogram images into the functional dependence has been outlined.

Theorems on interflatation properties and errors of the built operator have been formulated and proved. A test case for the construction of the interflatation operator for the quadratic function has been demonstrated, and the computational experiment involved the development of a number of programs in MathCad. The experiment has provided visualization results for an exact solution and a solution obtained experimentally for the case when the exact function is known. It has been shown that the constructed structure approximates this function exactly, which is not the case of classic interpolation operators.

The suggested method makes it possible to solve the problem of three-dimensional computer tomography for a fundamentally new data collection scheme. For example, it permits the use of the fan scheme for data collection in each of the planes in which the tomograms lie. 

компьютерная томографияинтерфлетациявосстановлениетомограммаматематическая модельпогрешность восстановлениячисленный экспериментcomputer tomographyinterflatationrestorationtomogrammathematical modelrestoration errorcomputational experimentReferencesНаттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер; пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 279 с.Natterer F. Mathematical aspects of computerized tomography. New York, Wiley, 1986. 221 p.Хермен, Г. Восстановление изображений по проекциям: основы реконструктивной томографии / Г. Хермен; пер. с англ. – М.: Мир, 1983. – 350 с.Herman, G. T. Image Reconstruction from Projections. The Fundamentals of Computerized Tomography. New York – London, Academic Press, 1980. 316 p.Хелгасон, С. Преобразование Радона / С. Хелгасон; пер. с англ. – М.: Мир, 1983. – 152 с.Helgason S. The Radon Transform. Boston, Birkhäuser, 1980. 195 p. Doi: 10.1007/978-1-4899-6765-7Сергієнко, І.В. Математичне моделювання в комп’ютерній томографії з використанням інтерфлетації функ- цій / І.В. Сергієнко, О.М. Литвин, Ю.І. Першина. – Харків: [б. в.], 2008. – 160 с.Sergienko I. V., Litvin O. M., Pershina Yu. I. Mathematical modeling in computer tomography with the use of function interflatation. Kharkiv, 2008. 160 p. (in Ukrainian).Литвин, О.М. Математична модель відновлення внутрішньої структури тривимірного об’єкта за відомими його томограмами з використанням інтерфлетації функцій / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Допов. Нац. акад. наук Украïни. – 2005. – №1. – С. 20–24.Litvin O. M., Pershina Yu. I. Mathematical model of internal structure restoration for a 3D object with the use of function interflatation. Dopovidi Nacional’noi’ akademii’ nauk Ukrai’ny = Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005, no. 1, pp. 20–24 (in Ukrainian).Литвин, О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О.М. Литвин. – Харків: Основа, 2002. – 544 с.Litvin O. M. Function interlination and some of its applications. Kharkiv, Basis Publ., 2002. 544 p. (in Ukrainian).Likhachev, A.V. A new method for deriving unknown additive background in projection in three-dimensional tomography / A.V. Likhachev, V.V. Pickalov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2002. – Vol. 42, №3. – P. 341–352.Likhachev A. V., Pickalov V. V. A new method for deriving unknown additive background in projection in threedimensional tomography. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2002, vol. 42, no. 3, pp. 341–352.Трофимов, О.Е. Об одном способе восстановления изображения по многоракурсной томограмме / О.Е. Трофимов, Л.В. Тюренкова. – Новосибирск: ИАЭ СО АН СССР, 1989. – 28 с.Trofimov O. E., Tyurenkova L. V. On one method for image restoration based on multiangle tomogram. Novosibirsk, IAE SO AN SSSR, 1989. 28 p. (in Russian).Пикалов, В.В. Сравнение алгоритмов спиральной томографии / В.В. Пикалов, А.В. Лихачев // Вычислительные методы и программирование. – 2004. – №5.– С. 170–183.Pikalov V. V., Lihachev A. V. Comparison of spiral tomography methods. Vyichislitelnyie metodyi i programmirovaniya = Numerical Methods and Programming, 2004, no. 5, pp. 170–183 (in Russian).Никольский, С.М. Граничные свойства функций, определенных на области с угловыми точками / С.М. Никольский // Математический сб. – 1958. – Т. 45 (87), №2. – С. 181–194.Nikolskii S. M. Boundary properties of functions determined on the angular point domain. Matematicheskii sbornik = Sbornik: Mathematics, 1958, vol. 45 (87), no. 2, pp. 181–194 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.