vestiftИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-технических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physical-technical series1561-83582524-244XThe Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8358-2018-63-2-201-213vestift-379Research ArticleЭНЕРГЕТИКА, ТЕПЛО- И МАССООБМЕНPOWER ENGINEERING, HEAT AND MASS TRANSFERИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ВТОРОГО РОДА. 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯINTEGRAL METHOD OF SOLVING HEAT-CONDUCTION PROBLEMS WITH THE SECOND-KIND BOUNDARY CONDITION. 1. BASIC STATEMENTSКотВ. А.KotV. A.

Кот Валерий Андреевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории турбулентности.

ул. П. Бровки, 15, 220072, Минск.

Valery A. Kot – Ph. D. (Engineering), Senior Researcher of the Laboratory of Turbulence.

15, P. Brovka Str., 220072, Minsk.

valery.kot@hmti.ac.byИнститут тепло- и массообмена имени А. В. Лыкова Национальной академии наук Беларуси.A. V. Luikov Heat and Mass Transfer Institute of the National Academy of Sciences of Belarus.201803072018632201213Copyright © Кот В.А., 20182018Кот В.А.Kot V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestift.belnauka.by/jour/article/view/379

На основе систем тождественных равенств, и интегральных граничных характеристик представлен новый алгоритм решения краевой задачи нестационарной теплопроводности для тел канонической формы c граничным условием второго рода. Схема отыскания приближенных аналитических решений краевых задач нестацио- нарной теплопроводности с граничным условием второго рода предусматривает введение в рассмотрение фронта температурного возмущения и разделения всего процесса нагрева на две стадии. Для первой стадии процесса на основе предварительного дифференцирования уравнения теплопроводности по пространственной координате и последующего применения симметричных интегральных и дифференциальных операторов построены соответственно две последовательности интегральных и дифференциальных тождественных равенств. Каждая из них содержит интегральные либо дифференциальные граничные характеристики для заданного граничного условия второго рода. Для второй стадии путем введения граничной функции, предварительного дифференцирования уравнения теплопроводности по пространственной координате и последующего применения симметричных интегральных операторов построена последовательность интегральных тождественных равенств, содержащих интегральные граничные характеристики для граничного условия второго рода и граничной функции. На основе полученных интегральных и дифференциальных тождественных равенств построены замкнутые системы уравнения, позволяющие находить полиномиальные коэффициенты температурного профиля для первой и второй стадий процесса. Приведена общая схема нахождения приближенных значений собственных чисел краевых задач с граничными условиями второго рода на основе составления обыкновенного дифференциального уравнения с переводом его в характеристическое уравнение. Для каждого из двух этапов предложены специальные интегральные операторы, которые сводят краевую задачу к обыкновенному дифференциальному уравнению.

On the basis of systems of identical equalities and integral boundary characteristics, a new algorithm of solving a boundary-value problem on the nonstationary heat conduction in a canonical body with boundary condition of the second kind has been developed. The scheme proposed for finding approximate analytical solutions of boundary-value problems on nonstationary heat conduction with boundary conditions of the second kind involves the introduction into consideration of a temperature-disturbance front and separation of the whole heating process into two stages. For the first stage of this process, on the basis of the differentiation of the heat-conduction equation over a space variable and the application of symmetric integral and differential operators to the expressions obtained, two sequences of integral and differential identical equalities have been constructed. Each of these sequences includes integral or differential limiting characteristics for a definite boundary condition of the second kind. For the second stage, by way of introduction of a boundary function, differentiation of the heat-conduction equation with respect to a spatial coordinate, and application of integral operators to the expression obtained, a sequence of integral identical equalities involving integral boundary characteristics for the second-kind boundary condition has been constructed. On the basis of the integral and differential identical equalities obtained, closed systems of equations, allowing one to find polynomial coefficients of the temperature profile for the first and second stages of the heating process, have been constructed. A general scheme of determining approximate eigenvalues of boundary-value problems with boundary conditions of the second kind on the basis of construction of an ordinary differential equation and transformation of it into the characteristic equation is proposed. For each of the two stages of the heating process, special integral operators, reducing the boundary-value heat-conduction problem to the ordinary differential equation, are proposed.

уравнение теплопроводностиинтегральный метод теплового балансафронт температурного возмущенияheat-conduction equationintegral method of heat balancetemperature disturbance frontReferencesGoodman, T. R. Application of Integral Methods to Transient Nonlinear Heat Transfer / T. R. Goodman // Adv. Heat Transfer. – 1964. – Vol. 1. – P. 51–122. https://doi.org/10.1016/S0065-2717(08)70097-2Goodman T. R. Application of Integral Methods to Transient Nonlinear Heat Transfer. Advances in Heat Transfer, 1964, vol. 1, pp. 51–122. https://doi.org/10.1016/S0065-2717(08)70097-2Goodman, T. R. The Heat-Balance Integral – Further Considerations and Refinements / T. R. Goodman // Transactions of the ASME, J. Heat Transfer. – 1961. – Vol. 83, Iss. 1. – P. 83–85. https://doi.org/10.1115/1.3680474Goodman T. R. Heat-Balance Integral – Further Considerations and Refinements. Transactions of the ASME, Journal of Heat Transfer. 1961, vol. 83, is. 1, pp. 83–85. https://doi.org/10.1115/1.3680474Wood, A. S. A new look at the heat balance integral method / A. S. Wood // Appl. Math. Model. – 2001. – Vol. 25, Iss. 10. – P. 815–824. https://doi.org/10.1016/S0307-904X(01)00016-6Wood A. S. A new look at the heat balance integral method. Applied Mathematical Modelling, 2001, vol. 25, is. 10, pp. 815–824. https://doi.org/10.1016/S0307-904X(01)00016-6Био, М. Вариационные принципы в теории теплообмена / М. Био. – М.: Энергия, 1975. – 209 с.Bio M. Variational principles in heat-exchange theory. Moscow, Energiya Publ., 1975. 209 p. (in Russian).Dorodnitsyn, A. A. General method of integral relations and its application to boundary layer theory / А. А. Dorodnitsyn. // Advances in Aeronautical Sciences: Proc. of the Second International Congress in the Aeronautical Sciences, Zürich, 12–16 Sept. 1960 / eds.: T. Von Kármán, A. M. Ballantyne, R. R. Dexter. – New York: Pergamon Press, 1962. – Vol. 3. – P. 207–219. https://doi.org/10.1016/B978-0-08-006550-2.50018-1Dorodnitsyn A. A. General method of integral relations and its application to boundary layer theory. Kármán T. Von, Ballantyne A. M., Dexter R. R. (eds.). Advances in Aeronautical Sciences: Proceedings of the Second International Congress in the Aeronautical Sciences, Zürich, 12–16 September 1960. Volume 3. New York, Pergamon, 1962, pp. 207–219. https://doi.org/10.1016/B978-0-08-006550-2.50018-1Hristov, J. The heat-balance integral method by a parabolic profile with unspecified exponent: Analysis and exercises / J. Hristov // Thermal Sci. – 2009. – Vol. 13, № 2. – P. 27–48. https://doi.org/2298/TSCI0902027HHristov J. The heat-balance integral method by a parabolic profile with unspecified exponent: Analysis and exercises. Thermal Science, 2009, vol. 13, no. 2, pp. 27–48. https://doi.org/2298/TSCI0902027HSadoun, N. On the refined integral method for the one-phase Stefan problem with time-dependent boundary conditions / N. Sadoun, E. K. Si-Ahmed, P. Colinet // Appl. Math. Model. – 2006. – Vol. 30, Iss. 6. – P. 531–544. https://doi.org/10.1016/j.apm.2005.06.003Sadoun, N., El-Khider Si-Ahmed, Colinet P. On the refined integral method for the one-phase Stefan problem with time-dependent boundary conditions. Applied Mathematical Modelling, 2006, vol. 30, iss. 6, pp. 531–544. https://doi.org/10.1016/j.apm.2005.06.003Mitchell, S. L. Application of standard and refined heat balance integral methods to one-dimensional Stefan problems / S. L. Mitchell, T. G. Myers // SIAM Rev. – 2010. – Vol. 52, Iss 1. – P. 57–86. https://doi.org/10.1137/080733036Mitchell S. L., Myers T. G. Application of standard and refined heat balance integral methods to one-dimensional Stefan problems. SIAM Review, 2010, vol. 52, iss. 1, pp. 57–86. https://doi.org/10.1137/080733036Myers, T. G. Optimizing the exponent in the heat balance and refined integral methods / T. G. Myers // Int. Comm. Heat Mass Transfer. – 2009. – Vol. 36, Iss 2. – P. 143–147. https://doi.org/10.1016/j.icheatmasstransfer.2008.10.013Myers T. G. Optimizing the exponent in the heat balance and refined integral methods. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2009, vol. 36, iss. 2, pp. 143–147. https://doi.org/10.1016/j.icheatmasstransfer.2008.10.013Langford, D. The heat balance integral method / D. Langford // Int. J. Heat Mass Transfer. – 1973. – Vol. 16, Iss 12. – P. 2424–2428. https://doi.org/10.1016/0017-9310(73)90026-4Langford D. The heat balance integral method. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1973, vol. 16, iss. 12, pp. 2424–2428. https://doi.org/10.1016/0017-9310(73)90026-4Mitchell, S. L. Improving the accuracy of heat balance integral methods applied to thermal problems with time dependent boundary conditions / S. L. Mitchell, T. G. Myers // Int. J. Heat Mass Transfer. – 2010. – Vol. 53, Iss 17–18. – P. 3540–3551. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2010.04.015Mitchell S. L., Myers T. G. Improving the accuracy of heat balance integral methods applied to thermal problems with time dependent boundary conditions. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2010, vol. 53, iss 17–18, pp. 3540–3551. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2010.04.015Федоров, Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики / Ф. М. Федоров. – Новосибирск: Наука, 2000. – 220 с.Fedorov F. M. Boundary method of solving applied problems of mathematical physics. Novosibirsk, Nauka Publ., 2000. 220 p. (in Russian).Стефанюк, Е. В. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности / Е. В. Стефанюк, В. А. Кудинов // Теплофизика высоких температур. – 2009. – Т. 47, № 2. – С. 269–282.Stefanyuk E. V., Kudinov V. A. Additional boundary conditions in nonstationary problems of heat conduction. High Themperature, 2009. vol. 47, iss. 2, pp. 250–262. https://doi.org/10.1134/s0018151x09020163Кот, В. А. Метод граничных характеристик / В. А. Кот // Инженерно-физический журнал. – 2015. – Т. 88, № 6. – С. 1345–1363.Kot V. A. Method of Boundary Characteristics. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2015, vol. 88, no. 6, pp. 1390–1408. https://doi.org/10.1007/s10891-016-1377-9Кот, В. А. Граничные характеристики для обобщенного уравнения теплопроводности и их эквивалентные представления / В. А. Кот // Инженерно-физический журнал. – 2016. – Т. 89, № 4. – С. 983–1006.Kot V. A. Boundary Characteristics for the Generalized Heat-Conduction Equation and Their Equivalent Representations. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2016, vol. 89, no. 4, pp. 985–1007. https://doi.org/10.1007/s10891-016-1461-1Kot, V. A. Integral Method of Boundary Characteristics: The Dirichlet Condition. Principles / V. A. Kot // Heat Transfer Research. – 2016. – Vol. 47, no. 10. – P. 927–944. https://doi.org/10.1615/HeatTransRes.2016014883Kot V. A. Integral Method of Boundary Characteristics: The Dirichlet Condition. Principles. Heat Transfer Research, 2016, vol. 47, no. 10, pp. 927–944. https://doi.org/10.1615/HeatTransRes.2016014883Кот, В. А. Метод граничной функции. Основные положения / В. А. Кот // Инженерно-физический журнал. – 2017. – Т. 90. – № 2. – С. 391–417.Kot V. A. The Boundary Function Method. Fundamentals. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2017, vol. 90, no. 2, pp. 366–391. https://doi.org/10.1007/s10891-017-1576-z

The authors declare that there are no conflicts of interest present.