vestiftИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-технических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physical-technical series1561-83582524-244XThe Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8358-2018-63-3-318-332vestift-392Research ArticleЭНЕРГЕТИКА, ТЕПЛО- И МАССООБМЕНPOWER ENGINEERING, HEAT AND MASS TRANSFERИнтегральный метод решения задач теплопроводности с граничным условием второго рода. 2. Анализ точностиIntegral method of solving heat-conduction problems with boundary condition of the second-kind. 2. Analysis of accuracyКотВ. А.KotV. A.

Кот Валерий Андреевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории турбулентности.

Valery A. Kot – Ph. D. (Engineering), Senior Researcher of the Laboratory of Turbulence.

15, P. Brovka Str., 220072, Minsk

valery.kot@hmti.ac.byНациональная академия наук Беларуси, Институт тепло- и массообмена имени А.В. ЛыковаNational Academy of Sciences of Belarus, A. V. Luikov Heat and Mass Transfer Institute201801112018633318332Copyright © Кот В.А., 20182018Кот В.А.Kot V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestift.belnauka.by/jour/article/view/392

Представлен алгоритм нахождения полиномиальных решений краевых задач нестационарной теплопроводности с переменным во времени граничным условием второго рода для тел плоской геометрии, а также с цилиндрической и сферической симметрией. Данный алгоритм основан на введении в рассмотрение граничных характеристик в виде определенного набора из k-кратных производных и n-кратных интегралов от заданной в виде граничного условия временной функции теплового потока на поверхности тела. Отдельно рассмотрены две стадии процесса: 1 – температурный фронт не достигает центра симметрии тела; 2 – температурный фронт достигает центра симметрии тела и прогрев происходит по всему сечению. На примерах симметричного нагрева протяженной пластины с постоянным и переменным тепловым потоком продемонстрирована очень высокая точность предложенного подхода на основе интегрального метода граничных характеристик (ИМГХ). По сравнению с методом дополнительных граничных условий предложенный метод ИМГХ позволяет уменьшить относительную ошибку аппроксимации (при одинаковых степенях полиномов N) на три-пять порядков и более, доводя ее до пренебрежимо малых величин (0,00028 % при N = 11; 0,000025 % при N = 14). Установлено, что с каждым последующим приближением (посредством добавления в полином трех степеней) для первой стадии процесса аппроксимационная ошибка снижается на порядок. Для второй стадии процесса описан эффективный алгоритм нахождения собственных значений краевой задачи теплопроводности, связанный с введением в рассмотрение дополнительной функции, соответствующей наибольшей по порядку величины граничной интегральной характеристике. Это позволяет перевести получаемое на основе ИМГХ интегро-дифференциальное уравнение в обыкновенное дифференциальное уравнение с нулевыми начальными условиями. Проведенные расчеты температуры в центре симметрии пластины подтвердили исключительно высокую аппроксимационную точность предложенного подхода.

An algorithm of finding polynomial solutions of boundary-value problems on nonstationary heat conduction with a time-dependent boundary condition of the secondary kind for bodies having a plane geometry, a cylindrical symmetry, or a spherical symmetry is presented. Thе algorithm is based on the introduction into consideration of the boundary characteristics in the form of a definite set of k-fold derivatives and n-fold integrals with respect to the time function of the heat flow on the surface of a body representing a boundary condition. Two stages of the heat-conduction process were considered separately: 1) the temperature front does not reach the center of a body and 2) the temperature front reaches the center of the body, and it is heated throughout its thickness. By the example of symmetric heating of a lengthy plate with a constant and variable heat flows, a very high accuracy of the proposed approach based on the integral method of boundary characteristics (BChIM) was demonstrated. As compared to the method of additional boundary characteristics, the BChIM makes it possible to de crease the relative approximation error (at one and the same polynomial degrees N) by  three to five orders of magnitude and by larger values and brings it to a negligibly low level (0.00028 %  at N = 11 and 0.000025 % at N = 14). It was established that, with each next approximation (with addition of three degrees into the polynomial), the approximation error decreases by an order of magnitude for the first stage of the process. An efficient algorithm of finding the eigenvalues of a boundary-value problem on heat conduction, based on the introduction into consideration of an additional function corresponding to the largest, in sequence order, boundary integral characteristic, is prtsented for the second stage of the process. Thе algorithm makes it possible to transform the integro-differential equation obtained on the basis of the BChIM into the ordinary differential equation with zero initial conditions. The calculations of the temperature at the center of the plate have shown that the approximation accuracy of the approach proposed is very high.

уравнение теплопроводностиприближенный методинтегральные тождествафронт возмущенияheat-conduction equationapproximate methodintegral identitiestemperature disturbance frontReferencesКот, В. А. Метод граничных характеристик в задачах теплопроводности на основе интеграла теплового баланса / В. А. Кот // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фіз.-тэхн. навук. – 2016. – № 2. – С. 54–65.Кot V. A. Method of boundary characteristics, based on the heat-balance integral, for heat-conduction problems. Vestsi Natsyyanal’nai akademii navuk Belarusi. Seryya fizika-technichnych navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physical-technical series, 2016, no. 2, pp. 54–65 (in Russian).Кот, В. А. Граничные характеристики в задачах теплопроводности. Анализ точности и сходимости решений / В. А. Кот // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фіз.-тэхн. навук. – 2016. – № 3. – С. 60–70.Кot V. A. Boundary characteristics in heat-conduction problems. Analysis of the accuracy and convergence of solutions. Vestsi Natsyyanal’nai akademii navuk Belarusi. Seryya fizika-technichnych navuk = Proceedings of the National Acade my of Sciences of Belarus. Physical-technical series, 2016, no. 3, pp. 60–70 (in Russian).Кот, В. А. Метод граничных характеристик / В. А. Кот // Инженер.-физ. журн. – 2015. – Т. 88, № 6. – С. 1345–1363.Кot V. A. Method of Boundary Characteristics. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2015, vol. 88, iss. 6, pp. 1390–1408. http://dx.doi.org/10.1007/s10891-016-1377-9Кот, В. А. Граничные характеристики для обобщенного уравнения теплопроводности и их эквивалентные представления / В. А. Кот // Инженер.-физ. журн. – 2016. – Т. 89, № 4. – С. 983–1006.Кot V. A. Boundary Characteristics for the Generalized Heat-Conduction Equation and Their Equivalent Representations. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2016, vol. 89, iss. 4, pp. 985–1007. http://dx.doi.org/10.1007/s10891-016-1461-1Кot, V. A. Integral Method of Boundary Characteristics: The Dirichlet Condition. Principles / V. A. Kot // Heat Transfer Research. – 2016. – Vol. 47, № 10. – P. 927–944. – https://doi.org/10.1615/heattransres.2016014882Кot V. A. Integral Method of Boundary Characteristics: The Dirichlet Condition. Principles. Heat Transfer Research, 2016, vol. 47, no. 10, pp. 927–944. https://doi.org/10.1615/heattransres.2016014882Кот, В. А. Интегральный метод решения задач теплопроводности с граничным условием второго рода. 1. Основные положения / В. А. Кот // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-тэхн. навук. – Т. 63, № 2. – С. 201–213. https://doi. org/10.29235/1561-8358-2018-63-2-201-213Kot V. A. Integral method of solving heat-conduction problems with the second-kind boundary condition. 1. Basic state ments. Vestsi Natsyyanal’nai akademii navuk Belarusi. Seryya fizika-technichnych navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physical-technical series, 2018, vol. 63, no. 2, pp. 201–213 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8358-2018-63-2-201-213Wood, A. S. A new look at the heat balance integral method / A. S. Wood // Appl. Math. Model. – 2001. – Vol. 25, iss. 10. – P. 815–824. – https://doi.org/10.1016/s0307-904x(01)00016-6Wood A. S. A new look at the heat balance integral method. Applied Mathematical Modelling, 2001, vol. 25, iss. 10, pp. 815–824. https://doi.org/10.1016/s0307-904x(01)00016-6Лыков, А. В. Теория теплопроводности /А. В. Лыков. – М.: Энергия, 1978. – 600 с.Lykov A. V. Heat-Conduction Theory. Moskow, Energiya, 1978. 600 p. (in Russian).Carslow, H. S. Conduction of Heat in Solids / H. S. Carslow, J. C. Jaeger. – 2nd ed. – Oxford: Oxford Univ. Press, 1992. – 510 p.Carslow H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids. 2nd ed. Oxford, Oxford University Press, 1992. 510 p.Goodman, T. R. The heat-balance integral – further considerations and refinements / T. R. Goodman // Journal of Heat Transfer. – 1961. – Vol. 83, № 1. – P. 83–93.Goodman T. R. The heat-balance integral – further considerations and refinements. Journal of Heat Transfer. 1961, vol. 83, no. 1, pp. 83–93.Федоров, Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики / Ф. М. Федоров. – Новосибирск: Наука, 2000. – 220 с.Fedorov F. M. Boundary Method of Solving Applied Problems of Mathematical Physics. Novosibirsk, Nauka Publ., 2000. 220 p. (in Russian).Стефанюк, Е. В. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности / Е. В. Стефанюк, В. А. Кудинов // Теплофизика высоких температур. – 2009. – Т. 47, № 2. – С. 269–282.Stefanyuk E. V., Kudinov V. A. Additional boundary conditions in nonstationary problems of heat conduction. High Temperature, 2009, vol. 47, iss. 2, pp. 250–262. https://doi.org/10.1134/S0018151X09020163

The authors declare that there are no conflicts of interest present.