vestiftИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-технических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physical-technical series1561-83582524-244XThe Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8358-2018-63-4-501-512vestift-412Research ArticleИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫINFORMATION TECHNOLOGIES AND SYSTEMSАнализ хаотических режимов функционирования схемы Чжуа с гладкой нелинейностью на основе метода матричной декомпозицииThe analysis of chaotic regimes in Chua’s circuit with smooth nonlinearity based on the matrix decomposition methodКротА. М.KrotA. M.

доктор технических наук, профессор, заведующий лабораторией моделирования самоорганизующихся систем

D. Sc. (Engineering), Professor, Chief of the Laboratory of Self-organization System Modeling

alxkrot@newman.bas-net.byhttps://orcid.org/0000-0002-1355-8965СычёвВ. А.SychouU. A.

научный сотрудник, лаборатория робототехнических систем

Researcher of the Laboratory of Robotics Systems

vsychyov@robotics.byОбъединенный институт проблем информатики Национальной академии наук Беларуси, МинскUnited Institute of Informatics Problems of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk201812012019634501512Copyright © Крот А.М., Сычёв В.А., 20192019Крот А.М., Сычёв В.А.Krot A.M., Sychou U.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestift.belnauka.by/jour/article/view/412

Проведен анализ схемы Чжуа с гладкой нелинейностью с применением метода матричной декомпозиции А. М. Крота. Получено разложение в матричный ряд системы уравнений Чжуа, в результате чего найдены линейное, квадратичное и кубическое матричные ядра. На основе данного разложения разработана имитационная модель электронной схемы, реализующей схему Чжуа с гладкой нелинейностью, и построены аттракторы для хаотического режима работы данной схемы. Предложенная схемотехническая реализация позволяет учитывать раздельное влияние нелинейностей высших порядков на процесс формирования хаотического режима функционирования схемы Чжуа. Это дает возможность провести серию экспериментов по исследованию модели, не реализуемых на обычной схеме Чжуа. В ходе экспериментов была обнаружена значительная корреляция между выходными сигналами кубического и квадратичного членов матричного ряда при хаотическом режиме работы схемы. Применение матричной декомпозиции в сочетании с вычислительным экспериментом позволило выявить, что модель Л. Д. Ландау начальной турбулентности (после срыва стационарного режима) достаточно хорошо описывает процесс возникновения хаотических режимов в схеме Чжуа. В частности показано, что режим жесткого самовозбуждения электрических колебаний в схеме Чжуа приводит к появлению хаотического аттрактора типа «двойной завиток» в пространстве состояний. Полученные результаты могут найти применение в задачах генерирования хаотических сигналов, в частности для решения проблем криптографии или управления мобильными роботами, а также для предотвращения возникновения хаотических режимов в работе электронных и механических устройств.

The scope of this work are electric circuits or electronic devices with chaotic regimes, in particular the Chua’s circuit. A nonlinear analysis of chaotic attractors based on the Krot’s method of matrix decomposition of vector functions in state-space of complex systems has been used to investigate the Chua’s circuit with smooth nonlinearity. It includes an analysis of linear term of the matrix series as well as an estimation of influence of high order terms of this series on stability of complex system under investigation. Here the method of matrix decomposition has been applied to analysis of the Chua’s attractor. The terms of matrix series have been used to create a simulation model and to reconstruct an attractor of chaotic modes. The proposed simulation model makes it possible to separate an influence of nonlinearities on forming a chaotic regime of the Chua’s circuit. Usage of both the matrix decomposition method and computational experiment has allowed us to find out that the initial turbulence model proposed by L. D. Landau is suitable for set-up description of the chaotic regime of the Chua’s circuit. It is shown that a mode of hard self-excitation in the Chua’s circuit leads to its chaotic regime operating with a double-scroll attractor in the state-space. The results might be used to generate of chaotic oscillations or data encryption. 

нелинейная динамическая системасхема Чжуахаотический аттракторматричный ряд в пространстве состоянийматричная декомпозиция схемы Чжуарежим жесткого самовозбуждения электрических колебанийnonlinear dynamical systemChua’s circuitchaotic attractormatrix series in state-spacematrix decomposition of Chua’s circuitReferencesKrot, A. M. Chaotic dynamic methods based on decomposition of vector functions in vector-matrix series into statespace / A. M. Krot // Melecon 2000: Proc. 10th Mediterranean Electrotechnical Conference, Lemesos, Cyprus, May 29–31, 2000. – Nicosia, Violaris Press Ltd., 2000. – Vol. 2. – P. 643–646. https://doi.org/10.1109/melcon.2000.880016Krot A. M. Chaotic dynamic methods based on decomposition of vector functions in vector-matrix series into statespace. Melecon 2000: Proc. 10th Mediterranean Electrotechnical Conference, Lemesos, Cyprus, May 29–31, 2000. Vol. 2. Nicosia, Violaris Press Ltd, 2000, pp. 643–646. https://doi.org/10.1109/melcon.2000.880016Krot, A. M. The decomposition of vector functions in vector-matrix series into state-space of nonlinear dynamic system / A. M. Krot // EUSIPCO-2000: Proc. X European Signal Processing Conference, Tampere, Finland, September 4–8, 2000. – Tampere, 2000. – Vol. 3. – P. 2453–2456.Krot A. M. The decomposition of vector functions in vector-matrix series into state-space of nonlinear dynamic system. EUSIPCO-2000: Proc. X European Signal Processing Conference, Tampere, Finland, September 4–8, 2000. Vol. 3. Tampere, 2000, pp. 2453–2456.Krot, A. M. Matrix decompositions of vector functions and shift operators on the trajectories of a nonlinear dynamical system / A. M. Krot // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2001. – Vol. 4, № 2. – P. 106–115.Krot A. M. Matrix decompositions of vector functions and shift operators on the trajectories of a nonlinear dynamical system. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2001, vol. 4, no. 2, pp. 106–115.Krot, A. M. Application of expansion into matrix to analysis of attractors of complex nonlinear dynamical systems / A. M. Krot // DSP-2002: Proc. 14th IEEE International Conference on Digital Signal Processing, Santorini, Greece, July 1–3, 2002. – Santorini, 2002. – P. 959–962. https://doi.org/10.1109/icdsp.2002.1028249Krot A. M. Application of expansion into matrix to analysis of attractors of complex nonlinear dynamical systems. DSP-2002: Proc. 14th IEEE International Conference on Digital Signal Processing, Santorini, Greece, July 1–3, 2002. Santorini, 2002, pp. 959–962. https://doi.org/10.1109/icdsp.2002.1028249Krot, A. M. Minimal attractor embedding estimation based on matrix decomposition for analysis of dynamical systems / A. M. Krot, H. B. Minervina // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2002. – Vol. 5, № 2. – P. 161–172.Krot A. M., Minervina H. B. Minimal attractor embedding estimation based on matrix decomposition for analysis of dynamical systems. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2002, vol. 5, no. 2, pp. 161–172.Крот, А. М. Анализ аттракторов сложных нелинейных динамических систем на основе матричных рядов в пространстве состояний / А. М. Крот // Информатика. – 2004. – № 1. – С. 7–16.Krot A. M. Analysis of attractors of complex nonlinear dynamical systems on the basis of matrix series in the state space. Informatica = Informatics, 2004, no. 1, pp. 7–16 (in Russian).Крот, А. М. Разработка и исследование моделей сложных динамических систем на основе методов вход-выходных представлений и пространства состояний / А. М. Крот // Информатика. – 2004. – № 4. – С. 95–108.Krot A. M. Development and research of models of complex dynamic systems on the basis of input-output representations and state space. Informatica = Informatics, 2004, no. 4, pp. 95–108 (in Russian).Krot, A. M. The development of matrix decomposition theory for nonlinear analysis of chaotic attractors of complex systems and signals / A. M. Krot // DSP-2009: Proc. 16th IEEE International Conference on Digital Signal Processing, Thira, Santorini, Greece, July 5–7, 2009. – Santorini, 2009. – P. 1–5. https://doi.org/10.1109/icdsp.2009.5201123Krot A. M. The development of matrix decomposition theory for nonlinear analysis of chaotic attractors of complex systems and signals. DSP-2009: Proc. 16th IEEE International Conference on Digital Signal Processing, Thira, Santorini, Greece, July 5–7, 2009. Santorini, 2009, pp. 1–5. https://doi.org/10.1109/icdsp.2009.5201123Krot, A. M. Bifurcation analysis of attractors of complex systems based on matrix decomposition theory / A. M. Krot // IEM 2011: Proc. of IEEE Intern. Conference on Industrial Engineering and Management, Zhengzhou, China, August 12–14, 2011. – Wuhan, 2011. – P. 1–5. https://doi.org/10.1109/icmss.2011.5999350Krot A. M. Bifurcation analysis of attractors of complex systems based on matrix decomposition theory. IEM 2011: Proc. of IEEE InternationalConference on Industrial Engineering and Management, Zhengzhou, China, August 12–14, 2011. Wuhan, 2011, pp. 1–5. https://doi.org/10.1109/icmss.2011.5999350Krot, A. M. Nonlinear analysis of the Hopfield network dynamical states using matrix decomposition theory / A. M. Krot,Krot A. M., Prakapovich R. A. Nonlinear analysis of the Hopfield network dynamical states using matrix decomposition theory. Chaotic Modeling and Simulation, 2013, vol. 1, pp. 133–146.R. A. Prakapovich // Chaotic Modeling and Simulation. – 2013. – Vol. 1. – P. 133–146.Matsumoto T. Chaos in Electronic Circuits. Proceedings of the IEEE, 1987, vol. 75, iss. 8, pp. 1033–1057. https://doi. org/10.1109/PROC.1987.13848Matsumoto, T. Chaos in Electronic Circuits / Т. Matsumoto // Proceedings of the IEEE. – 1987. – Vol. 75, Iss. 8. – P. 1033–1057. https://doi.org/10.1109/PROC.1987.13848Ogorzalek M., Galias Z., Chua L. Exploring Chaos in Chua’s Circuit via Unstable Periodic Orbits. Circuits and Systems, ISCAS’93, IEEE International Symposium on., 1993. Chicago, IL, USA, 1993, pp. 2608–2611. https://doi.org/10.1109/ iscas.1993.693226Ogorzalek, M. Exploring Chaos in Chua’s Circuit via Unstable Periodic Orbits / M. Ogorzalec, Z. Galias, L. Chua // Circuits and Systems, ISCAS’93, IEEE International Symposium on., 1993. – Chicago, IL, USA, 1993. – P. 2608–2611. https:// doi.org/10.1109/iscas.1993.693226Zhong G. Implementation of Chua’s circuit with a cubic nonlinearity. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I. Theories and Applications, 1994, vol. 41, no. 12, pp. 934–941. https://doi.org/10.1109/81.340866Zhong, G.-Q. Implementation of Chua’s circuit with a cubic nonlinearity / G.-Q. Zhong // IEEE Transactions on Circuits and Systems-I. Theories and Applications. – 1994. – Vol. 41, № 12. – P. 934–941. https://doi.org/10.1109/81.340866Galias Z. Rigorous Analysis of Chua’s Circuit with a Smooth Nonlinearity. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, 2016, vol. 63, no. 12, pp. 2304–2312. https://doi.org/10.1109/tcsi.2016.2613022Galias, Z. Rigorous Analysis of Chua’s Circuit with a Smooth Nonlinearity / Z. Galias // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. – 2016. – Vol. 63, № 12. – P. 2304–2312. https://doi.org/10.1109/tcsi.2016.2613022O’Donoghue K., Kennedy M. P., Forbes P. A fast and simple implementation of Chua’s oscillator using a “cubic-like” Chua diode. Proceedings of the 2005 European Conference on Circuit Theory and Design, Cork, Ireland, 2 Sept. 2005. Vol. 2. https://doi.org/10.1109/ECCTD.2005.1522998O’Donoghue, K. A fast and simple implementation of Chua’s oscillator using a “cubic-like” Chua diode 2005 / K. O’Donoghue, M. P. Kennedy, P. Forbes // Proceedings of the 2005 European Conference on Circuit Theory and Design, Cork, Ireland, 2 Sept. 2005. – Vol. 2. https://doi.org/10.1109/ECCTD.2005.1522998Srisuchinwong B. Implementation of Chua’s Chaotic Oscillator Using “Roughly-Cubic-Like” Nonlinearity. 4th International Conference on Electrical Engineering/Electronics, Computer, Telecommunications and Information Technology, May 9–12, 2007. Chiang Rai, 2007, pp. 36–37.Srisuchinwong, B. Implementation of Chua’s Chaotic Oscillator Using “Roughly-Cubic-Like” Nonlinearity / B. Srisuchinwong // 4th International Conference on Electrical Engineering/Electronics, Computer, Telecommunications and Information Technology, May 9–12, 2007. – Chiang Rai, 2007. – P. 36–37.Galias Z. On the existence of chaos in the Chua’s circuit with a smooth nonlinearity. IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), Montreal, QC, Canada, 22–25 May 2016. Montreal, QC, Canada, 2016, pp. 1106–1109. http:// dx.doi.org/10.1109/ISCAS.2016.7527438Galias, Z. On the existence of chaos in the Chua’s circuit with a smooth nonlinearity / Z. Galias // IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), Montreal, QC, Canada, 22–25 May 2016. – Montreal, QC, Canada, 2016. – P. 1106–1109. http://dx.doi.org/10.1109/ISCAS.2016.7527438Tietze U., Schenk C., Gamm E. Electronic Circuits: Handbook for Design and Application. 2nd ed. Berlin; Heidelberg, Springer-Verlag, 2008. 1543 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-78655-9Tietze, U. Electronic Circuits: Handbook for Design and Application / U. Tietze, C. Schenk, E. Gamm. – 2nd ed. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. – 1543 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-78655-9Galias Z. The Dangers of Rounding Errors for Simulations and Analysis of Nonlinear Circuits and Systems – and How to Avoid Them. IEEE Circuits and Systems Magazine, 2013, vol. 13, no. 3, pp. 35–52. https://doi.org/10.1109/MCAS.2013.2271444Galias, Z. The Dangers of Rounding Errors for Simulations and Analysis of Nonlinear Circuits and Systems – and How to Avoid Them / Z. Galias // IEEE Circuits and Systems Magazine. – 2013. – Vol. 13, № 3. – P. 35–52. https://doi. org/10.1109/MCAS.2013.2271444Landau L. D. To the problem of turbulence. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the Academy of Sciences USSR], 1944, vol. 44, no. 8, p. 339 (in Russian).Ландау, Л. Д. К проблеме турбулентности / Л. Д. Ландау // Докл. Акад. наук СССР. – 1944. – Т. 44, № 8. – C. 339.Landau L. D., Lifschitz E. M. Fluid Mechanics. Oxford, Pergamon, 1959. XIII, 539 p.Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учеб. пособие для студентов физ. специальностей ун-тов: в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц; под ред. Л. П. Питаевского. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1946. – Т. 6: Гидродинамика. – 736 с.Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учеб. пособие для студентов физ. специальностей ун-тов: в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц; под ред. Л. П. Питаевского. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1946. – Т. 6: Гидродинамика. – 736 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.