vestiftИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-технических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physical-technical series1561-83582524-244XThe Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8358-2019-64-1-110-117vestift-426Research ArticleИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫINFORMATION TECHNOLOGIES AND SYSTEMSСвойства G-орбит тройных ошибок и их инвариантов в кодах Боуза – Чоудхури – Хоквингема C7Properties of triple error orbits G and their invariants in Bose – Chaudhuri – Hocquenghem codes C7ЛипницкийВ. А.LipnitskiV. A.

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики.

пр. Независимости, 220, 220057, Минск.

D. Sc. (Engineering), Professor, Head of the Department of Higher Mathematics.

220, Nezavisimosti Ave., 220057, Minsk.

valipnitski@yandex.ruСередаЕ. В.SeradaA. U.

Магистр, аспирант кафедры защиты информации.

ул. П. Бровки, 10, 220013, Минск.

Master of Engineering Science, Postgraduate Student at the Department of Information Security.

10, P. Brovka Str., 220013, Minsk.

elen.vt@gmail.comВоенная академия Республики Беларусь.Military Academy of the Republic of Belarus.Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники.Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics.201927032019641110117Copyright © Липницкий В.А., Середа Е.В., 20192019Липницкий В.А., Середа Е.В.Lipnitski V.A., Serada A.U.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestift.belnauka.by/jour/article/view/426

Данная работа является дальнейшим развитием теории норм синдромов (ТНС): расширяется теория полиномиальных инвариантов G-орбит ошибок относительно группы G автоморфизмов двоичных циклических кодов Боуза – Чоудхури – Хоквингема (БЧХ-кодов), получаемой присоединением к группе Г степеней циклотомической подстановки и практически исчерпывающей группу автоморфизмов БЧХ-кодов. Определено, что для БЧХ-кодов с конструктивным расстоянием пять полиномиальные инварианты, как и нормы синдромов, имеют скалярный характер и являются взаимно-однозначными характеристиками своих орбит. Для примитивных циклических БЧХ-кодов с конструктивным расстоянием семь вслед за нормами синдромов, становящимися уже векторными величинами, вводятся соответствующие векторные полиномиальные инварианты, исследуются их основные свойства. Установлено, что нарушается свойство взаимной однозначности: существуют G-орбиты-изомеры, различные, но имеющие одинаковые векторные полиномиальные инварианты. Обосновано и на примерах демонстрируется, что это обстоятельство незначительно осложняет алгоритмы декодирования ошибок на основе полиномиальных инвариантов.

This work is the further development of the theory of norms of syndromes: the theory of polynomial invariants of G-orbits of errors expands with the group G of automorphisms of binary cyclic BCH codes obtained by joining the degrees of cyclotomic permutation to the group Γ and practically exhausting the group of automorphisms of BCH codes. It is determined that polynomial invariants, like the norms of syndromes, have a scalar character and are one-to-one characteristics of their orbits for BCH codes with a constructive distance of five. The paper introduces the corresponding vector polynomial invariants for primitive cyclic BCH codes with a constructive distance of seven, next to the norms of the syndromes that are already vector quantities; the basic properties of the vector polynomial invariants are investigated. It is established that the property of mutual unambiguity is violated: there are G-orbit-isomers, which are different, but have the same vector polynomial invariants. It is substantiated and demonstrated by examples that this circumstance greatly complicates error decoding algorithms based on polynomial invariants

помехоустойчивое кодированиециклические линейные кодыпримитивные БЧХ-кодыавтоморфизмы кодоворбиты ошибоксиндромы ошибокнормы синдромовполиномиальные инварианты орбит ошибокnoise-immune encodingcyclic linear codesprimitive BCH codescode automorphismorbit of errorssyndrome of errorsnorm of syndromepolynomial invariant of orbit of errorsReferencesКонопелько, В. К. Теория норм синдромов и перестановочное декодирование помехоустойчивых кодов / В. К. Конопелько, В. А. Липницкий. – Изд. 2-е. – М.: Едиториал, УРСС, 2004. – 176 с.Konopel’ko V. K., Lipnickij V. A. The Norm of Syndrome Theory and Permutation Decoding of Noise-Immune Codes. 2nd ed. Moscow, Editorial URSS Publ., 2004. 176 p. (in Russian).Липницкий, В. А. Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения / В. К. Конопелько, В. А. Липницкий. – Минск: Изд. центр БГУ, 2007. – 240 с.Lipnickii V. A., Konopel’ko V. K. Norm Decoding of Noise-Immune Codes and Algebraic Equations. Minsk, Publishing Center of the Belarusian State University, 2007. 240 p. (in Russian).Липницкий, В. А. Теория норм синдромов / В. А. Липницкий. – Минск: БГУИР, 2011. – 96 с.Lipnickii V. A. The Norm of Syndrome Theory. Minsk, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics, 2011. 96 p. (in Russian).Мак-Вильямс, Ф. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / Ф. Дж. Мак-Вильямс, Н. Дж. А. Слоэн. – М.: Связь, 1979. – 744 с.Mak-Villiams F. J., Sloane N. J. A. The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland, 1977. 785 pp.Липницкий, В. А. Полиномиальные инварианты G-орбит ошибок БЧХ-кодов и их применение / В. А. Липницкий, Е. В. Середа // Докл. БГУИР. – 2017. – № 5(107) – С. 62–69.Lipnickii V. A., Sereda E. V. Polinomial invariants of errors’ G-orbit of BCH codes and its application. Doklady BSUIR, 2017, no. 5 (107), pp. 62–69 (in Russian).Липницкий, В. А. Полиномиальные инварианты автоморфизмов семейства БЧХ-кодов и их приложения / В. А. Липницкий, Е. В. Середа // Комплексная защита информации: материалы XXII Белорус.-Рос. науч.-практ. конф., Полоцк, 16–19 мая 2017 г. – Новополоцк, 2017. – С. 117–120.Lipnickii V. A., Sereda E. V. Polynomial invariant of automorphisms of BCH code family and its application. Materialy XXII Belorussko-Rossijskoi nauchno-prakticheskoi konferencii “Kompleksnaja zashhita informacii” [Proc. of the XXII Belarusian-Russian Scientific and Practical Conference “Complex information security”]. Novopolock, 2017, pp. 117–120 (in Russian).Муттер, В. М. Основы помехоустойчивой телепередачи информации / В. М. Муттер. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 286 с.Mutter V. M. Fundamentals of Noise-Immune Telecasting of Information. Leningrad, Energoatomizdat Publ., 1990. 286 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.