РЕШЕНИЕ 3D-ЗАДАЧИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ ПО ИЗВЕСТНЫМ ТОМОГРАММАМ НА СИСТЕМЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

Построена и исследована математическая модель двухмерной компьютерной томографии с использованием интерфлетации функций трех переменных по известным томограммам исследуемого тела. Дается понятие томограммы в математическом смысле как след от функции трех переменных на заданной плоскости, построен алгоритм перевода изображения томограмм в функциональную зависимость, аргументами которой являются номер рисунка и координаты точек. Это дает возможность работать с томограммами как с функциями, то есть позволяет по номеру рисунка получать его изображения и выделять компонент цвета в указанной точке рисунка.

Строится и исследуется оператор интерфлетации функции трех переменных по известным следам функции на системе произвольных плоскостей. Приводится теорема об общем виде погрешности приближения функции трех переменных, построенных оператором интерфлетации в интегральном виде. Также приведена оценка неустранимой погрешности экспериментальных данных. Продемонстрирован пример восстановления функции трех переменных с помощью оператора интерфлетации по ее известным следам на системе произвольно расположенных плоскостей. Проведен численный эксперимент для заранее заданного тела, для этого был разработан комплекс программ в системе компьютерной математики MathCad. Численный эксперимент дает результаты визуализации точного решения и решения, полученного экспериментально, для случая, когда известна точная функция.

Предложенный метод восстановления существенно отличается от существующих тем, что в нем может проводиться обработка томограмм, которые не лежат в параллельных плоскостях (например, в простейшем случае томограммы могут располагаться в системе трех групп плоскостей, параллельных координатным плоскостям).

компьютерная томография, интерфлетация, восстановление, томограмма, математическая модель, погрешность восстановления, численный эксперимент

1. Наттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер; пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 279 с.

2. Хермен, Г. Восстановление изображений по проекциям: основы реконструктивной томографии / Г. Хермен; пер. с англ. – М.: Мир, 1983. – 350 с.

3. Хелгасон, С. Преобразование Радона / С. Хелгасон; пер. с англ. – М.: Мир, 1983. – 152 с.

4. Сергієнко, І.В. Математичне моделювання в комп’ютерній томографії з використанням інтерфлетації функ- цій / І.В. Сергієнко, О.М. Литвин, Ю.І. Першина. – Харків: [б. в.], 2008. – 160 с.

5. Литвин, О.М. Математична модель відновлення внутрішньої структури тривимірного об’єкта за відомими його томограмами з використанням інтерфлетації функцій / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Допов. Нац. акад. наук Украïни. – 2005. – №1. – С. 20–24.

6. Литвин, О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О.М. Литвин. – Харків: Основа, 2002. – 544 с.

7. Likhachev, A.V. A new method for deriving unknown additive background in projection in three-dimensional tomography / A.V. Likhachev, V.V. Pickalov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2002. – Vol. 42, №3. – P. 341–352.

8. Трофимов, О.Е. Об одном способе восстановления изображения по многоракурсной томограмме / О.Е. Трофимов, Л.В. Тюренкова. – Новосибирск: ИАЭ СО АН СССР, 1989. – 28 с.

9. Пикалов, В.В. Сравнение алгоритмов спиральной томографии / В.В. Пикалов, А.В. Лихачев // Вычислительные методы и программирование. – 2004. – №5.– С. 170–183.

10. Никольский, С.М. Граничные свойства функций, определенных на области с угловыми точками / С.М. Никольский // Математический сб. – 1958. – Т. 45 (87), №2. – С. 181–194.