Коррекция ошибок в кодах Рида–Соломона с помощью их автоморфизмов

Исследованы синдромные инварианты АГ-группы автоморфизмов кодов Рида–Соломона (РС‑кодах) – совместной группы аффинных и циклических подстановок. Найденные реальные инварианты представляют собой совокупность норм N Г-орбит, составляющих ту или иную АГ-орбиту. Нормы Г-орбит, как известно, являются векторами с 2 1 Cδ− координатами из поля Галуа – поля задания РС-кода, которые определяются всевозможными парами компонент синдромов ошибок. В таком виде инварианты АГ-орбит оказались громоздкими и тяжеловесными в обращении. Поэтому предложена компромиссная их замена на условные, частичные инварианты. Эти квази-инварианты получили название норм-проекций. Норма-проекция однозначно идентифицирует свою АГ-орбиту и потому служит адекватным инструментом для формулировки метода коррекции ошибок РС-кодами на основе АГ-орбит. Мощность АГ-орбит оценивается величиной N2, равной квадрату длины РС-кода. Поиск векторов-ошибок в передаваемых сообщениях новым методом сводится к перебору АГ-орбит, а реально – их норм-проекций, с последующим по- иском этих ошибок внутри конкретной АГ-орбиты. Следовательно, предложенный метод работает практически в N2 раз быстрее традиционных синдромных методов, действующих по принципу «синдром-ошибки», что, так или иначе, сводится к перебору всего множества корректируемых кодом векторов-ошибок до нахождения конкретного вектора.

1. Мак-Вильямс, Ф. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / Ф. Дж. Мак-Вильямс, Н. Дж. А. Слоэн. – М.: Связь, 1979. – 744 с.

2. Блейхут, Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки / Р. Блейхут. – М.: Мир, 1986. – 576 с.

3. Скляр, Б. Цифровая связь: теоретические основы и практическое применение: учеб. пособие / Б. Скляр. – 2-е изд., испр. – М.: Вильямс, 2003. – 1104 с.

4. Кудряшов, Б. Д. Основы теории кодирования: учеб. пособие / Б. Д. Кудряшов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2016. – 400 с.

5. Маров, А. В. Матричный формализм кодов Рида–Соломона / А. В. Маров, А. Ю. Утешев // Вестн. СПбГУ. Сер. 10, Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. – 2016. – Вып. 4. – С. 3–17. https://doi.org/10.21638/11701%2Fspbu10.2016.401

6. Семенов, С. И. Преимущества применения теории полей Галуа для обработки РС-кодов / С. И. Семенов, В. А. Липницкий // Сборник научных статей Военной академии Республики Беларусь. – Минск: Воен. акад. Респ. Беларусь, 2019. – Вып. 36. – С. 84–93.

7. Липницкий, В. А. Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения / В. А. Липницкий, В. К. Конопелько. – Минск: Изд. центр БГУ, 2007. – 239 с.

8. Липницкий, В. А. Нормы синдромов и их свойства в кодах Рида–Соломона / В. А. Липницкий, С. И. Семенов // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С. Фундаментальные науки. – 2020. – № 4. – С. 2–9.

9. Лидл, Р. Конечные поля: в 2 т. / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. – М.: Мир, 1988. – 822 с.

10. Липницкий, В. А. Современная прикладная алгебра. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа / В. А. Липницкий. – Минск: БГУИР, 2006. – 88 с.